（1）将目标移项为 $[f^{\prime }(\xi )-{\xi }^2]+[f^{\prime }(\eta )-{\eta }^2]=0$，因此构造 $F(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}$。它在 $[0,1]$ 连续、在 $(0,1)$ 可导，且 $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x^2$、$F(0)=F(1)=0$。
（2）对两个等长区间 $[0,\frac{1}{2}]$、$[\frac{1}{2},1]$ 分别使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,\frac{1}{2})$、$\eta \in (\frac{1}{2},1)$，满足

（3）两式相加消去 $F(\frac{1}{2})$，得 $F^{\prime }(\xi )+F^{\prime }(\eta )=0$，即 $f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )={\xi }^2+{\eta }^2$。两次分别在指定区间用中值定理，保证了两点的位置且两点不同；不能直接对 $f$ 用中值定理后再任意指定中值点。