设动直线为 $x=t$，其中 $t\ge 0$。由 $f(x)\ge 0$，封闭图形面积为 $S={\int }_0^{t}f(x)\mathrm{d}x$，而线段长度为 ${\mathrm{e}}^t-1-f(t)$。故

积分方程右端表明 $f$ 连续；对 $t$ 求导得 $f^{\prime }(t)+f(t)={\mathrm{e}}^t$，并有 $f(0)=0$。乘以积分因子 ${\mathrm{e}}^t$，得到

因此 $f(t)=\frac{{\mathrm{e}}^t-{\mathrm{e}}^{-t}}{2}$。

验证：$f(t)=\sinh t\ge 0$，且 ${\mathrm{e}}^t-1-f(t)=\cosh t-1\ge 0$；同时 ${\int }_0^t\sinh x\mathrm{d}x=\cosh t-1$，故满足全部条件。