2000 · 数学三 · 第 1 题 · 填空题

令 $u = x y, v = \frac{x}{y}, w = \frac{y}{x}$ ，则 $z = f (u, v) + g (w)$ 。由链式法则，

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{u} u_{x} + f_{v} v_{x} + g^{'} (w) w_{x} .

记 $\partial_{1} f$ 、 $\partial_{2} f$ 分别为 $f$ 对第一、第二个自变量的偏导数。代入 $u_{x} = y$ 、 $v_{x} = \frac{1}{y}$ 、 $w_{x} = - \frac{y}{x ^{2}}$ ，得到

\frac{\partial z}{\partial x} = y \partial_{1} f (x y, \frac{x}{y}) + \frac{1}{y} \partial_{2} f (x y, \frac{x}{y}) - \frac{y}{x ^{2}} g^{'} (\frac{y}{x}) .

答案