（1）B 正确。由 $f^{\prime }(0)=m$ 知 $f$ 在 $0$ 可导，因而连续，结合题设得到 $f(0)=0$。于是

（2）A、C 均不成立。取 $f(x)=x$（$x\ne 0$）、$f(0)=1$。此函数有定义且 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$，并且去心邻域内 $\frac{f(x)}{x}=1$、$f^{\prime }(x)=1$，故 A、C 的前提都满足，取 $m=1$。但 $f$ 在 $0$ 不连续，不可导。C 缺少的是分段点连续性，不能直接套用导数极限定理。
（3）D 不成立。取 $f(x)=x^2\sin (\frac{1}{x})$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$。由 $|f(x)|\le x^2$ 知题设极限成立，且差商 $x\sin (\frac{1}{x})\to 0$，所以 $f^{\prime }(0)=0$。但非零点有 $f^{\prime }(x)=2x\sin (\frac{1}{x})-\cos (\frac{1}{x})$；沿 $x_k=\frac{1}{(2k\pi )}$ 导数等于 $-1$，沿 $z_k=\frac{1}{((2k+1)\pi )}$ 等于 $1$，故导函数没有极限。可导不保证导函数连续。综上选 B。