因 $x>0$，令 $v=\frac{y}{x}$，则 $y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$ 且 $\sqrt{x^2+y^2}=x\sqrt{1+v^2}$。原方程化为

积分得 $\mathrm{arsinh}v=\ln x+C$。初值 $x=1,y=0$ 给出 $v=0$，故 $C=0$。

于是 $v=\sinh (\ln x)=\frac{1}{2}(x-x^{-1})$，从而

代回时 $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{(x^2+1)}{2}$，可直接验证初值与方程均成立。