当 $-1<x<1$ 时，$\frac{\pi }{4}+\arctan x\in (0,\frac{\pi }{2})$，并且

按反正切主值范围可得

利用

可得

端点处，$x=-1$ 时级数和为 $0=f(-1)$；$x=1$ 时级数虽收敛到 $\frac{\pi }{2}$，但原函数因分母为零而无定义。因此该展开与原函数相等的区间可写为 $-1\le x<1$。