当 $x\to 0$ 时，$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，故 $\frac{x}{\tan x}=1-\frac{x^2}{3}+o(x^2)$。

于是 $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x}=\frac{1}{x^2}\left(1-\frac{x}{\tan x}\right)\to \frac{1}{3}$。