（1）取对数。在 $x=\frac{\pi }{4}$ 的充分小邻域内 $\tan x>0$，且去心邻域内 $\cos x-\sin x\ne 0$。令 $y=(\tan x{)}^{\frac{1}{(\cos x-\sin x)}}$，则 $\ln y=\frac{\ln (\tan x)}{(\cos x-\sin x)}$。底数趋于 $1$，指数的绝对值趋于无穷，应先求对数的极限。
（2）等价替换并约去公因子。因为 $\tan x-1\to 0$，由 $\ln (1+u)\sim u$ 得 $\ln (\tan x)\sim \tan x-1$，而

$$\begin{array}{rl}\tan x-1& =\frac{\sin x-\cos x}{\cos x},\\ \frac{\tan x-1}{\cos x-\sin x}& =-\frac{1}{\cos x}⟶-\sqrt{2}.\end{array}$$

约分合法是因为 $x\ne \frac{\pi }{4}$ 的充分小邻域内公因子非零。于是 $\ln y\to -\sqrt{2}$。
（3）还原极限。由指数函数连续性，$y=e^{\ln y}\to e^{-\sqrt{2}}$，即所求极限。

换元 $t=x-\frac{\pi }{4}\to 0$，则

$$\begin{array}{rl}\cos x-\sin x& =-\sqrt{2}\sin t,\\ \tan x& =\frac{1+\tan t}{1-\tan t}.\end{array}$$

在 $t=0$ 的充分小邻域内两对数真数为正。分别展开并合并余项，有

$$\begin{array}{rl}\ln (\tan x)& =\ln (1+\tan t)-\ln (1-\tan t)\\ & =2\tan t+o(\tan t)=2t+o(t).\end{array}$$

又 $\sin t\sim t$，故 $\frac{\ln (\tan x)}{(\cos x-\sin x)}\to -\sqrt{2}$。将原式写成该比值的指数，由连续性得极限 $e^{-\sqrt{2}}$。