点 $(x,y)$ 处切线的 $y$ 轴截距为 $y-x{y}^{\prime }$，故条件给出

令 $y=vx$。因 $x>0$，方程化为

于是 $\mathrm{arsinh}v=-\ln x+C$。由曲线经过 $(\frac{1}{2},0)$，得到 $C=-\ln 2$。

因此

即 $y=\frac{1}{4}-x^2$，$x>0$。

由第一问所得曲线方程，设切点横坐标为 $u$，其中 $0<u<\frac{1}{2}$。切线为

它在两坐标轴上的截距分别为 $b=\frac{1}{4}+u^2$ 与 $a=\frac{b}{(2u)}$。

由该切线、第一象限内的曲线及两坐标轴围成的面积等于截距三角形面积减去曲线下方面积。后者与 $u$ 无关，故只需最小化

令 $T^{\prime }(u)=0$，得到 $48u^4+8u^2-1=0$，从而 $u^2=\frac{1}{12}$。在 $0<u<\frac{1}{2}$ 内该点给出最小值。代回切线，得

即 $\sqrt{3}x+3y=1$。