1999 · 数学三 · 第 4 题 · 填空题

在天平上重复称量一重为

a

的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

N (a, 0. 2^{2})

。若以

X_{n}

表示

n

次称量结果的算术平均值，则为使

P {∣ X_{n} - a ∣ < 0.1} \geq 0.95

，

n

的最小值应不小于自然数。

答案

$16$

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由正态总体的抽样分布， $X_{n} \sim N (a, \frac{0. 2 ^{2}}{n})$ 。令 $Z = \frac{( X _{n} - a )}{( \frac{0.2}{n} )} \sim N (0, 1)$ ，则

P (∣ X_{n} - a ∣ < 0.1) = P (∣ Z ∣ < \frac{n}{2}) .

记标准正态分布的 $0.975$ 分位数为 $z_{0.975} \approx 1.96$ 。要使该概率不小于 $0.95$ ，需 $\frac{n}{2} \geq z_{0.975}$ ，即 $n \geq 4 z_{0.975}^{2} \approx 15.366$ 。因此最小自然数为 $16$ 。