当 $x\to 0$ 时，$\arcsin x=x+O(x^3)$，从而 $x\arcsin x=x^2+O(x^4)$，并且 $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$。

利用 $\sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}+O(u^2)$，有 $\sqrt{1+x\arcsin x}=1+\frac{x^2}{2}+O(x^4)$，$\sqrt{\cos x}=1-\frac{x^2}{4}+O(x^4)$。

因此 $\beta (x)=\frac{3}{4}{x}^2+O(x^4)\sim \frac{3}{4}{x}^2$。与 $\alpha (x)=k{x}^2$ 等价时，故 $k=\frac{3}{4}$。