由 $A=\mathrm{diag}(1,-2,1)$ 得 $A^{\ast }=\mathrm{diag}(-2,1,-2)$。令 $C=BA$，原式成为 $(A^{\ast }-2E)C=-8E$。

由于 $A^{\ast }-2E=\mathrm{diag}(-4,-1,-4)$，可得 $C=\mathrm{diag}(2,8,2)$。

再由 $B=C{A}^{-1}$ 以及 $A^{-1}=\mathrm{diag}(1,-\frac{1}{2},1)$，得到 $B=\mathrm{diag}(2,-4,2)$。