2024 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 (1 - x), 0, 0 < x < 1 其他

。在

X = x (0 < x < 1)

的条件下，随机变量

Y

服从区间

(x, 1)

上的均匀分布，则

Cov (X, Y) =

（　　）。

答案

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先由 $X$ 的密度算一、二阶矩：

E (X) E (X^{2}) = 2 \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}, = 2 \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} .

给定 $X = x$ 时 $Y \sim U (x, 1)$ ，故 $E (Y ∣ X) = \frac{( X + 1 )}{2}$ 。用重期望公式，

E (Y) E (X Y) = E (\frac{X + 1}{2}) = \frac{2}{3}, = E [X E (Y ∣ X)] = \frac{E ( X ^{2} ) + E ( X )}{2} = \frac{1}{4} .

所以 $Cov (X, Y) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3}) = \frac{1}{36}$ ，选 D。这里给定 $X$ 后，它可提出条件期望之外，不能把无条件的 $E (X Y)$ 直接拆成均值乘积。

由联合密度等于边缘密度乘条件密度，得 $f_{X, Y} (x, y) = \frac{2 ( 1 - x )}{( 1 - x )} = 2$ （ $0 < x < y < 1$ ），其余为零。于是

E (X Y) E (Y) = 2 \int_{0}^{1} x (\int_{x}^{1} y d y) d x = \int_{0}^{1} x (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{4}, = 2 \int_{0}^{1} y (\int_{0}^{y} d x) d y = \frac{2}{3} .

由 $X$ 的边缘密度仍有 $E (X) = \frac{1}{3}$ ，故协方差为 $\frac{1}{4} - \frac{2}{9} = \frac{1}{36}$ 。积分区域必须保留 $0 < x < y < 1$ 。