题给对数要求 $x,y>0$。令 $t=\frac{y}{x}$，则 $t_x=-\frac{y}{x^2}$、$t_y=\frac{1}{x}$。由乘积法则和链式法则，

因此 $x{z}_x+y{z}_y=2xyf(t)$，含 $f^{\prime }$ 的两项相消。与题设比较，得到 $2xyf(t)=y^2\ln (\frac{y}{x})$。代入 $y=tx$ 并约去非零因子，得 $f(t)=t\frac{\ln t}{2}$（$t>0$）。
于是 $f(1)=0$，$f^{\prime }(t)=\frac{(\ln t+1)}{2}$，所以 $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$，选 B。A、C 的函数值错误，D 的导数值错误。仅令 $x=y=1$ 只能得到 $f(1)$，还需要利用邻近 $t$ 的恒等式确定导数。

函数 $z=xyf(\frac{y}{x})$ 是二次齐次函数：对 $\lambda >0$，$z(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{2}z(x,y)$。关于 $\lambda$ 求导并令 $\lambda =1$，得到欧拉关系 $x{z}_x+y{z}_y=2z$。
因此题设给出 $2xyf(\frac{y}{x})=y^2\ln (\frac{y}{x})$。令 $t=\frac{y}{x}>0$，约去 $xy$ 后得 $f(t)=t\frac{\ln t}{2}$，所以 $f(1)=0$、$f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$，选 B。