（1）设方程为 $L[y]=y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$。由线性性，两个非齐次解之差满足 $L[y_i-y_j]=f-f=0$，所以

都是对应齐次方程的解。它们之比 ${\mathrm{e}}^{2x}$ 不是常数，故线性无关；二阶齐次方程的解空间为二维，因此齐次通解为 $Y=C_1{\mathrm{e}}^{3x}+C_2{\mathrm{e}}^x$。
（2）取已知解 $y_3=-x{\mathrm{e}}^{2x}$ 为特解，得到

（3）反求方程核对。齐次特征根为 $3,1$，所以对应方程为 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=0$。对特解有 $y_3^{\prime }=-(1+2x){\mathrm{e}}^{2x}$、$y_3^{\prime \prime }=-(4+4x){\mathrm{e}}^{2x}$，代入得

因此原方程为 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=x{\mathrm{e}}^{2x}$，上述通解中的两个齐次项不改变右端，结论成立。