2001 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

已知

f_{n} (x)

满足

f_{n}^{'} (x) = f_{n} (x) + x^{n - 1} e^{x} (n 为正整数)

且

f_{n} (1) = \frac{e}{n}

，求函数项级数

n = 1 \sum \infty f_{n} (x)

的和。

答案

在 $- 1 \leq x < 1$ 上，和为 $- e^{x} ln (1 - x)$ ；其余实数处级数发散。

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将方程乘以 $e^{- x}$ ，得 $(e^{- x} f_{n} (x))^{'} = x^{n - 1}$ 。因此 $e^{- x} f_{n} (x) = \frac{x ^{n}}{n} + C_{n}$ 。

由 $f_{n} (1) = \frac{e}{n}$ 得 $C_{n} = 0$ ，所以 $f_{n} (x) = e^{x} \frac{x ^{n}}{n}$ 。

于是 $n = 1 \sum \infty f_{n} (x) = e^{x} n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n} = - e^{x} ln (1 - x)$ 。该级数在 $∣ x ∣ < 1$ 绝对收敛，在 $x = - 1$ 条件收敛，在 $x = 1$ 及 $∣ x ∣ > 1$ 发散，故收敛区间为 $[- 1, 1)$ 。