属于不同特征值的特征向量 $x_1,x_2$ 线性无关，因而 $x_1+x_2\ne 0$。

反设 $x_1+x_2$ 是属于某特征值 $\lambda$ 的特征向量，则

从而

由 $x_1,x_2$ 线性无关，必有 $\lambda ={\lambda }_1={\lambda }_2$，这与 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 矛盾。因此 $x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。