（1）利用列的和消元。记所求行列式为 $D$。第 $1,2$ 列下方元素互为相反数，第 $3,4$ 列上方元素也互为相反数。依次作 $c_1\to c_1+c_2$、$c_3\to c_3+c_4$，行列式值不变，得

$$D=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& 0& 1\\ a& a& 0& -1\\ 0& 1& a& 0\\ 0& -1& a& a\end{array}\right|.$$

（2）再作 $r_2\to r_2-r_1$、$r_4\to r_4-r_3$，得到

$$D=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& 0& 1\\ 0& a& 0& -2\\ 0& 1& a& 0\\ 0& -2& 0& a\end{array}\right|.$$

（3）按稀疏列展开。先按第一列展开，再按所得三阶行列式的第二列展开，两次代数余子式的符号都为正，故

$$\begin{array}{rl}D& =a\left|\begin{array}{ccc}a& 0& -2\\ 1& a& 0\\ -2& 0& a\end{array}\right|\\ & =a^2\left|\begin{array}{cc}a& -2\\ -2& a\end{array}\right|=a^2(a^2-4)=a^4-4a^2.\end{array}$$

全部变换均为倍加，没有除以 $a$，因此也适用于 $a=0$。此时原行列式前两行互为相反数，值为零，与结果相符。

将原矩阵写成分块形式 $\left(\begin{array}{cc}a{I}_2& B\\ B& a{I}_2\end{array}\right)$，其中 $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。先把第一块行加到第二块行，再从第一块列减去第二块列，得到分块上三角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a{I}_2-B& B\\ 0& a{I}_2+B\end{array}\right)$。这些倍加变换不改变行列式，因此

$$\begin{array}{rl}D& =|a{I}_2-B||a{I}_2+B|=|a^2{I}_2-B^2|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}^2-2& 2\\ 2& a^2-2\end{array}\right|=(a^2-2{)}^2-4=a^4-4a^2.\end{array}$$

其中 $B^2=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$，上述变换无须假设 $a\ne 0$。