令 $A=\alpha {\beta }^T$。其迹满足

相似矩阵的迹相等，而 $\mathrm{diag}(3,0,0)$ 的迹为 $3$，故 $1+k=3$，从而 $k=2$。

当 $k=2$ 时，$A$ 为秩一矩阵，且非零特征值为 ${\beta }^T\alpha =3$，另外两个特征值为 $0$。由秩为 $1$ 可知 $\dim \ker A=2$，所以零特征值有两个线性无关的特征向量；再加上特征值 $3$ 对应的特征向量，得到三个线性无关的特征向量，故 $A$ 可对角化，确实与 $\mathrm{diag}(3,0,0)$ 相似。