2017 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

设

a_{0} = 1

，

a_{1} = 0

，

a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} (n a_{n} + a_{n - 1}) (n = 1, 2, \dots)

，

S (x)

为幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数。

(1) 证明幂级数 $n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}$ 的收敛半径不小于 $1$ ；
(2) 证明 $(1 - x) S^{'} (x) - x S (x) = 0 (x \in (- 1, 1))$ ，并求 $S (x)$ 的表达式。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

$(1 - x) S^{'} (x) - x S (x) = 0$ ， $S (x) = \frac{e ^{- x}}{1 - x}$ ， $∣ x ∣ < 1$ 。

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第 1 问

用归纳法证明 $∣ a_{n} ∣ \leq 1$ 。初值 $∣ a_{0} ∣ = 1$ 、 $∣ a_{1} ∣ = 0$ 满足结论。若 $∣ a_{n - 1} ∣, ∣ a_{n} ∣ \leq 1$ ，则

∣ a_{n + 1} ∣ \leq \frac{n ∣ a _{n} ∣ + ∣ a _{n - 1} ∣}{n + 1} \leq \frac{n + 1}{n + 1} = 1.

故结论对所有 $n \geq 0$ 成立。于是 $∣ x ∣ < 1$ 时 $∣ a_{n} x^{n} ∣ \leq ∣ x ∣^{n}$ ，右侧等比级数收敛，比较判别法给出原幂级数绝对收敛，故收敛半径不小于 $1$ 。

第 2 问

由（1）知在 $∣ x ∣ < 1$ 内可逐项求导。递推式只对 $n \geq 1$ 成立，先单独提出 $a_{1} = 0$ ：

S^{'} (x) = a_{1} + n = 1 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = n = 1 \sum \infty (n a_{n} + a_{n - 1}) x^{n} = x S^{'} (x) + x S (x) .

因此 $(1 - x) S^{'} (x) - x S (x) = 0$ ，且 $S (0) = a_{0} = 1$ 。
积分因子法。方程化为 $S^{'} - \frac{x S}{( 1 - x )} = 0$ ，积分因子为

μ (x) = exp (- \int \frac{x}{1 - x} d x) = (1 - x) e^{x} .

于是 $[(1 - x) e^{x} S (x)]^{'} = 0$ 。由 $S (0) = 1$ 知 $(1 - x) e^{x} S (x) = 1$ ，故 $S (x) = \frac{e ^{- x}}{( 1 - x )}$ ， $∣ x ∣ < 1$ 。

由（1）知在 $∣ x ∣ < 1$ 内可逐项求导。递推式只对 $n \geq 1$ 成立，先单独提出 $a_{1} = 0$ ：

S^{'} (x) = a_{1} + n = 1 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = n = 1 \sum \infty (n a_{n} + a_{n - 1}) x^{n} = x S^{'} (x) + x S (x) .

因此 $(1 - x) S^{'} (x) - x S (x) = 0$ ，且 $S (0) = a_{0} = 1$ 。
分离变量法。此线性齐次方程在 $(- 1, 1)$ 上系数连续，解的唯一性及 $S (0) = 1$ 保证 $S$ 不会与零解相交；由连续性， $S (x) > 0$ 。因而可以除以 $S$ ，得到

\frac{S ^{'}}{S} = \frac{x}{1 - x} = - 1 + \frac{1}{1 - x} .

积分得 $ln S = - x - ln (1 - x) + C$ 。由 $S (0) = 1$ 得 $C = 0$ ，所以 $S (x) = \frac{e ^{- x}}{( 1 - x )}$ ， $∣ x ∣ < 1$ 。