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设函数
f
(
x
)
,
g
(
x
)
满足
f
′
(
x
)
=
g
(
x
)
,
g
′
(
x
)
=
2
e
x
−
f
(
x
)
，且
f
(
0
)
=
0
,
g
(
0
)
=
2
，求
∫
0
π
[
1
+
x
g
(
x
)
−
(
1
+
x
)
2
f
(
x
)
]
d
x
。
答案
π
+
1
e
π
+
1
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展开
收起
由
f
′
=
g
可见被积函数为
1
+
x
g
(
x
)
−
(
1
+
x
)
2
f
(
x
)
=
(
1
+
x
f
(
x
)
)
′
.
又由
f
′′
=
g
′
=
2
e
x
−
f
，得到
f
′′
+
f
=
2
e
x
。结合
f
(
0
)
=
0
、
f
′
(
0
)
=
g
(
0
)
=
2
，解得
f
(
x
)
=
e
x
−
cos
x
+
sin
x
.
所以原积分为
1
+
x
f
(
x
)
0
π
=
1
+
π
f
(
π
)
=
π
+
1
e
π
+
1
.