任取 $a<x_1<x_2$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,x_1)$ 与 $\eta \in (x_1,x_2)$，使得

因为 $f^{\prime \prime }(x)>0$，所以 $f^{\prime }$ 在 $(a,+\infty )$ 上严格增加。由 $\xi <\eta$ 得

另一方面，

这是 $F(x_1)$ 与一个严格大于它的数的加权平均，故 $F(x_2)>F(x_1)$。因此 $F$ 在 $(a,+\infty )$ 内严格单调增加。