1995 · 数学二 · 第 13 题 · 解答题

由 $x^{2} - y^{2} = 1$ 得两支边界 $x = \pm 1 + y^{2}$ 。因此

D = {(x, y) : 0 \leq y \leq 1, - 1 + y^{2} \leq x \leq 1 + y^{2}} .

按先 $x$ 后 $y$ 的次序积分：

\iint_{D} x^{2} y d x d y = \int_{0}^{1} y (\int_{- 1 + y^{2}}^{1 + y^{2}} x^{2} d x) d y = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} y (1 + y^{2})^{\frac{3}{2}} d y .

令 $u = 1 + y^{2}$ ，则 $d u = 2 y d y$ 。所以

\frac{2}{3} \int_{0}^{1} y (1 + y^{2})^{\frac{3}{2}} d y = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{2}{15} 2^{\frac{5}{2}} - 1 = \frac{2}{15} (42 - 1) .

答案