2020 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

设数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

，

(n + 1) a_{n + 1} = (n + \frac{1}{2}) a_{n}

。

答案

证明见解析

$S (x) = \frac{2}{1 - x} - 2$ ， $∣ x ∣ < 1$ 。

查看解析展开

由 $a_{1} = 1$ 及递推式，所有 $a_{n} > 0$ ，并且 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( 2 n + 1 )}{( 2 n + 2 )} \to 1$ 。对 $0 < ∣ x ∣ < 1$ ，

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1} x ^{n + 1}}{a _{n} x ^{n}} = ∣ x ∣ < 1,

比值判别法给出绝对收敛； $x = 0$ 时各项为零，显然收敛。因此 $∣ x ∣ < 1$ 时原幂级数收敛。

递推转微分方程。在 $∣ x ∣ < 1$ 内可逐项求导，先提出一次项的导数 $a_{1} = 1$ ，再代入递推：

S^{'} (x) = 1 + n = 1 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = 1 + n = 1 \sum \infty (n + \frac{1}{2}) a_{n} x^{n} = 1 + x S^{'} (x) + \frac{1}{2} S (x) .

因此 $S^{'} - \frac{S}{[ 2 ( 1 - x )]} = \frac{1}{( 1 - x )}$ ，且 $S (0) = 0$ 。积分因子为 $1 - x$ ，于是

[1 - x S (x)]^{'} = \frac{1}{1 - x} .

从 $0$ 到 $x$ 积分，得 $1 - x S (x) = 2 - 2 1 - x$ ，所以 $S (x) = \frac{2}{1 - x} - 2$ 。

直接求系数并对照二项展开。连乘递推式，得

a_{n} = \prod_{k = 1}^{n - 1} \frac{2 k + 1}{2 k + 2} = \frac{2 ( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!}, n \geq 1,

其中 $n = 1$ 时空积为 $1$ 。在 $∣ x ∣ < 1$ 内，牛顿二项展开为

(1 - x)^{- \frac{1}{2}} = 1 + n = 1 \sum \infty \frac{( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!} x^{n} .

两边乘 $2$ 再减 $2$ ，右侧正是 $n = 1 \sum \infty a_{n} x^{n}$ ，故 $S (x) = \frac{2}{1 - x} - 2$ 。