1995 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

设

u = f (x, y, z), φ (x^{2}, e^{y}, z) = 0, y = sin x

，其中

f, φ

都具有一阶连续偏导数，且

\frac{\partial φ}{\partial z} \neq = 0

，求

\frac{d u}{d x}

。

答案

$f_{x} + f_{y} cos x - f_{z} \frac{2 x φ _{1} + e ^{s i n x} cos x φ _{2}}{φ _{3}}$ ，其中各偏导数均在题设对应的变量处取值。

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记 $φ_{i}$ 表示 $φ$ 对第 $i$ 个自变量的偏导数。对 $φ (x^{2}, e^{y}, z) = 0$ 关于 $x$ 求导，并使用 $y^{'} = cos x$ ，得到

2 x φ_{1} + e^{y} cos x φ_{2} + z^{'} φ_{3} = 0.

由 $φ_{3} \neq = 0$ ，

z^{'} = - \frac{2 x φ _{1} + e ^{s i n x} cos x φ _{2}}{φ _{3}} .

再对 $u = f (x, y, z)$ 使用链式法则：

\frac{d u}{d x} = f_{x} + f_{y} cos x - f_{z} \frac{2 x φ _{1} + e ^{s i n x} cos x φ _{2}}{φ _{3}} .

其中 $f$ 的偏导数在 $(x, sin x, z)$ 处取值， $φ$ 的偏导数在 $(x^{2}, e^{s i n x}, z)$ 处取值。