记 $F(x,y)=f(x)g(y)$。由 $F_x=f^{\prime }(x)g(y)$、$F_y=f(x)g^{\prime }(y)$ 及 $f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=0$，知原点为驻点。又 $f,g$ 有二阶连续导数，故可用二阶判别法。在原点有

极小值的一个充分条件为 $AC-B^2>0$ 且 $A>0$；由于 $B=0$，这等价于 $A>0,C>0$。结合 $g(0)<0$、$f(0)>0$，得到 $f^{\prime \prime }(0)<0$、$g^{\prime \prime }(0)>0$，故选 A。
B 中 $A>0,C<0$，C 中 $A<0,C>0$，二者的判别式都为负，原点是鞍点；D 中 $A<0,C<0$，判别式为正但取极大值。
例如 $f(x)=1-x^2$、$g(y)=-1+y^2$ 满足 A 的条件。在原点附近，$F=-(1-x^2)(1-y^2)\ge -1=F(0,0)$，也可直观看出极小值。但一般结论依据前述二阶判别，不能用一个例子代替证明。