2023 · 数学二 · 第 3 题 · 选择题

已知数列

{x_{n}}, {y_{n}}

满足

x_{1} = y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = sin x_{n}, y_{n + 1} = y_{n}^{2} (n = 1, 2, \dots)

，则当

n \to \infty

时（　　）。

A
$x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小
B
$y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小
正确答案
C
$x_{n}, y_{n}$ 是等价无穷小
D
$x_{n}, y_{n}$ 是同阶但不等价的无穷小

答案

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（1）先证二者都趋于零。由逐次平方， $y_{n} = 2^{- 2^{n - 1}} > 0$ ，故 $y_{n} \to 0$ 。又 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ，在 $(0, \frac{1}{2}]$ 内有 $0 < sin t < t$ ，归纳得 $0 < x_{n + 1} < x_{n} \leq \frac{1}{2}$ 。单调有界故 $x_{n} \to A \in [0, \frac{1}{2}]$ ，递推式与连续性给出 $A = sin A$ ，而正数范围内 $sin A < A$ ，故只能 $A = 0$ 。
（2）令 $r_{n} = \frac{y _{n}}{x _{n}} > 0$ ，由递推式，

\frac{r _{n + 1}}{r _{n}} = \frac{y _{n}}{\frac{sin x _{n}}{x _{n}}} \to \frac{0}{1} = 0.

因此存在 $N$ ，当 $n \geq N$ 时 $r_{n + 1} \leq \frac{r _{n}}{2}$ 。迭代得 $0 < r_{n} \leq r_{N} 2^{- (n - N)} \to 0$ ，从而 $y_{n} = o (x_{n})$ ，选 B。A 的高阶方向相反；C、D 要求比值趋于非零有限常数，均不成立。

（1）先按前一方法证明 $x_{n}, y_{n} > 0$ 且均趋于零。进一步计算精确阶，令 $z_{n} = \frac{1}{x _{n}^{2}}$ 。由 $sin t = t - \frac{t ^{3}}{6} + O (t^{5})$ ，取平方再倒数得

z_{n + 1} = \frac{1}{sin ^{2} x _{n}} = \frac{1}{x _{n}^{2}} + \frac{1}{3} + O (x_{n}^{2}) .

故 $z_{n + 1} - z_{n} \to \frac{1}{3}$ 。
（2）将增量求和， $z_{n} = z_{1} + j = 1 \sum n - 1 (z_{j + 1} - z_{j})$ 。由收敛数列算术平均仍趋于同一极限，得 $\frac{z _{n}}{n} \to \frac{1}{3}$ ，因此 $x_{n} \sim \frac{3}{n}$ 。
（3）另一方面 $y_{n} = 2^{- 2^{n - 1}}$ ，故

\frac{y _{n}}{x _{n}} \sim \frac{n}{3} 2^{- 2^{n - 1}} \to 0.

例如 $2^{n - 1} \geq n$ 对所有正整数 $n$ 成立，右侧不超过 $\frac{n}{3} 2^{- n} \to 0$ 。因此 $y_{n}$ 为 $x_{n}$ 的高阶无穷小，选 B。