令 $X=(x_1,x_2,x_3{)}^T$，将二次型写成 $f=X^{T}AX$，其中

有 $\det A=0$，而左上二阶主子式 $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3\ne 0$。所以 $\mathrm{rank}A=2$。