1996 · 数学三 · 第 7 题 · 选择题

下述各选项正确的是（　　）。

A
若 $n = 1 \sum \infty u_{n}^{2}$ 和 $n = 1 \sum \infty v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{n} + v_{n})^{2}$ 收敛
正确答案
B
$n = 1 \sum \infty ∣ u_{n} v_{n} ∣$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}^{2}$ 与 $n = 1 \sum \infty v_{n}^{2}$ 都收敛
C
若正项级数 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 发散，则 $u_{n} \geq \frac{1}{n}$
D
若级数 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geq v_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则级数 $n = 1 \sum \infty v_{n}$ 也收敛

答案

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由 $(u_{n} + v_{n})^{2} \leq 2 u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2}$ ，若两平方级数均收敛，则 $\sum (u_{n} + v_{n})^{2}$ 收敛，所以 A 正确。

其余结论均不成立。例如 B 可取 $u_{n} = n, v_{n} = n^{- 3}$ ；C 可取发散正项级数 $u_{n} = \frac{1}{( n ln n )}$ （从 $n \geq 2$ 起）；D 可取收敛级数 $u_{n} = 0$ 与 $v_{n} = - \frac{1}{n}$ 。