由 $r(B)=2$ 且 $B$ 有 4 列，零空间维数为 $4-2=2$。又 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，且 ${\alpha }_3=2{\alpha }_1-3{\alpha }_2$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是解空间的一组基。

取 $e_1=\frac{{\alpha }_1}{\Vert {\alpha }_1\Vert }=\frac{(1,1,2,3{)}^T}{\sqrt{15}}$。因 ${\alpha }_1^T{\alpha }_2=5$，正交化得到 ${\alpha }_2-\frac{1}{3}{\alpha }_1=\frac{2}{3}(-2,1,5,-3{)}^T$。归一化后可取 $e_2=\frac{(-2,1,5,-3{)}^T}{\sqrt{39}}$。