（1）将目标积分在 $x=2$ 处分段，并在第二段令 $x=t+2$。利用 $f(t+2)=f(t)+t$，得

（2）将它与另一段拼接，再代入已知积分值，得

也可先构造一个特解，再说明周期余项不影响答案。设 $p(x)=a{x}^2+bx+c$，由 $p(x+2)-p(x)=x$ 得 $a=\frac{1}{4}$、$b=-\frac{1}{2}$；再令 ${\int }_0^{2}p(x)\mathrm{d}x=0$，得 $c=\frac{1}{6}$。
令 $h=f-p$，则 $h(x+2)=h(x)$，且 ${\int }_0^{2}h(x)\mathrm{d}x=0$。连续周期函数在任一长度为周期的区间上积分相等，故 ${\int }_1^{3}h(x)\mathrm{d}x=0$。于是

单独代入一个特解只能作核对；补上周期余项的论证后，才构成适用于全部 $f$ 的解法。