1998 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

从船上向海中沉放某种探测仪器。仪器的下沉深度为

y

（从海平面算起），下沉速度为

v

。设仪器在重力作用下从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用；仪器的质量为

m

，体积为

B

，海水比重为

ρ

，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为

k > 0

。完成下列各问：

答案

$m v \frac{d v}{d y} = (m - ρB) g - k v, y ∣_{v = 0} = 0$

$y = - \frac{m}{k} v - \frac{m ( m - ρB ) g}{k ^{2}} ln (1 - \frac{k v}{( m - ρB ) g})$

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取铅直向下为正方向。重力为 $m g$ ，浮力为 $ρB g$ ，阻力为 $k v$ 且方向向上，因此

m \frac{d v}{d t} = (m - ρB) g - k v .

又 $v = \frac{d y}{d t}$ ，故 $\frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d y}$ 。结合从海面静止开始的条件，得到 $m v \frac{d v}{d y} = (m - ρB) g - k v$ ，且 $y = 0$ 对应 $v = 0$ 。

记 $C = (m - ρB) g$ 。题设从静止开始下沉要求 $C > 0$ 。由第一问的微分方程

\frac{d y}{d v} = \frac{m v}{C - k v} .

从 $0$ 积分到 $v$ ，并用 $y (0) = 0$ ，得

y = - \frac{m}{k} v - \frac{m C}{k ^{2}} ln (1 - \frac{k v}{C}) .

代回 $C = (m - ρB) g$ 即得答案。实际下沉过程中 $0 \leq v < \frac{C}{k}$ ，对数真数为正。