在 $x>0$ 上将方程除以 $x$，得 $y^{\prime }-\frac{6y}{x}=-\frac{6}{x}$。积分因子为 ${\mathrm{e}}^{-6\ln x}=x^{-6}$，所以

因此 $y=1+C{x}^6$。利用 $y(\sqrt{3})=10$，得 $1+27C=10$，即 $C=\frac{1}{3}$，故 $y(x)=1+\frac{x^6}{3}$，$x>0$。此时 $y^{\prime }=2x^5$，代回得 $x{y}^{\prime }-6y=-6$，初值也满足。

将原式写成 $x{y}^{\prime }=6(y-1)$。初值处 $y-1=9\ne 0$，在该分支上分离变量，得 $\frac{\mathrm{d}y}{(y-1)}=\frac{6\mathrm{d}x}{x}$。积分得 $\ln |y-1|=6\ln x+C_1$，即 $y-1=C{x}^6$。代入初值得 $C=\frac{1}{3}$，所以 $y=1+\frac{x^6}{3}$。该解在 $x>0$ 上始终有 $y-1>0$；分离时排除的常解 $y=1$ 不符合初值。

（1）将法线截距表示为点的横坐标函数。设 $P=(t,1+\frac{t^6}{3})$，其中 $t>0$。切线斜率为 $y^{\prime }(t)=2t^5>0$，故法线斜率为 $-\frac{1}{(2t^5)}$。法线方程为 $Y-y(t)=-\frac{(X-t)}{(2t^5)}$，令 $X=0$，得

（2）求截距最小值。对 $t$ 求导，得

分母恒正，所以 $0<t<1$ 时导数为负，$t>1$ 时为正，$t=1$ 为唯一最小值点。并且两端 $t\to 0^{+}$、$t\to +\infty$ 时截距都趋于正无穷。

（3）求点的坐标。由 $y(1)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，得所求点 $P=(1,\frac{4}{3})$；此时最小截距为 $I(1)=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$。