B 项充分：若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A$ 与 $\Lambda$ 相似，特征多项式相同，故 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$。
B 项必要：若 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$，三者互异，各取一个特征向量即构成一组基。按此顺序排成可逆矩阵 $P$，有 $P^{-1}AP=\Lambda$，即 $A=P\Lambda P^{-1}$。因此 B 是充要条件，选 B。
A 项是矩阵等价，只保证秩为 $2$，并不充分。例如取 $P=E,Q=\mathrm{diag}(1,-1,1)$，则 $P\Lambda Q=\mathrm{diag}(1,1,0)$，特征值不符合要求。
C 项的正交相似属于相似，因而充分，但不必要。由于 $Q^{-1}=Q^T$，$Q\Lambda Q^{-1}$ 必为实对称矩阵；而 $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $1,-1,0$，却不对称，故不满足 C。
D 项是合同，并不保持特征值的具体数值。取 $P=\mathrm{diag}(2,1,1)$，得 $P\Lambda P^T=\mathrm{diag}(4,-1,0)$，说明 D 不充分；又因为 $P\Lambda P^T$ 必对称，上一段的非对称反例也说明 D 不必要。