在 $h\to 0$ 时，$f(kh)=f(0)+kh{f}^{\prime }(0)+\frac{k^2{h}^2}{2}{f}^{\prime \prime }(0)+o(h^2)$，其中 $k=1,2,3$。

代入线性组合，要使其为 $o(h^2)$，由 $f(0),f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0)$ 均非零，必须满足 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1$，${\lambda }_1+2{\lambda }_2+3{\lambda }_3=0$，${\lambda }_1+4{\lambda }_2+9{\lambda }_3=0$。

解此方程组得 ${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=-3,{\lambda }_3=1$。将其代回展开式，常数、一次和二次项均消失，余项为 $o(h^2)$，故满足要求。

该三元一次方程组的系数行列式非零（对应 $1,2,3$ 的范德蒙德型矩阵），所以这组实数唯一。