被积函数 $f$ 在 $[0,2]$ 上分段连续且有界。即使它在 $x=1$ 处有跳跃，其定积分上限函数仍在整个区间上连续。

故 $g(x)={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$ 在 $(0,2)$ 内连续，选择 D。