在 $(x,y)=(2,\frac{1}{2})$ 处，原方程化为 $\ln z+{\mathrm{e}}^{z-1}=1$，其中 $z>0$。$z=1$ 是解；左侧导数为 $\frac{1}{z}+{\mathrm{e}}^{z-1}>0$，故严格递增，解唯一。
固定 $y$ 对原方程关于 $x$ 求偏导，注意左侧两项均依赖隐函数 $z$，得到

括号内恒正且函数光滑，隐函数求导合法。代入 $y=\frac{1}{2},z=1$，得 $z_x(2,\frac{1}{2})=\frac{(\frac{1}{2})}{(1+1)}=\frac{1}{4}$。

令 $F(x,y,z)=\ln z+{\mathrm{e}}^{z-1}-xy$。在给定点由单调性确定 $z=1$，而 $F_x=-y$、$F_z=\frac{1}{z}+{\mathrm{e}}^{z-1}$。在 $(2,\frac{1}{2},1)$ 处，$F_z=2\ne 0$，由隐函数公式，$z_x=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{(\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{4}$。