1996 · 数学三 · 第 6 题 · 选择题

设当

x \to 0

时，

e^{x} - (a x^{2} + b x + 1)

是比

x^{2}

高阶的无穷小，则（　　）。

答案

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在 $x = 0$ 处， $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ 。

故 $e^{x} - (a x^{2} + b x + 1) = (1 - b) x + (\frac{1}{2} - a) x^{2} + o (x^{2})$ 。要使其为 $x^{2}$ 的高阶无穷小，必须 $b = 1, a = \frac{1}{2}$ ，选 A。