在 $(x,y)=(0,2)$ 处，原方程化为 $z+2\ln z=1$。因 $z>0$，左侧导数 $1+\frac{2}{z}>0$，故解唯一；代入得 $z=1$。
固定 $y$，对原方程关于 $x$ 求偏导：

在 $(0,2,1)$ 处，$z_x$ 的系数为 $3\ne 0$，且方程左侧在该点附近光滑，隐函数求导合法。代入得 $1+3z_x(0,2)-4=0$，所以 $z_x(0,2)=1$。

令 $F(x,y,z)=(x+1)z+y\ln z-\arctan (2xy)-1$。由 $z+2\ln z=1$ 的严格单调性，确定 $z(0,2)=1$。计算得

在 $(0,2,1)$ 处，$F_x=-3$、$F_z=3\ne 0$。由隐函数定理及求导公式，$z_x(0,2)=-\frac{F_x}{F_z}=1$。