2005 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

设

I_{1} = \iint_{D} cos x^{2} + y^{2}, d σ

，

I_{2} = \iint_{D} cos (x^{2} + y^{2}), d σ

，

I_{3} = \iint_{D} cos^{2} (x^{2} + y^{2}), d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

，则（　　）。

答案

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在单位圆盘上使用极坐标，得

I_{1} I_{2} = 2 π \int_{0}^{1} r cos r d r, = 2 π \int_{0}^{1} r cos (r^{2}) d r .

当 $0 < r < 1$ 时， $r^{2} < r$ ，而余弦函数在 $[0, 1]$ 上严格递减，故 $cos (r^{2}) > cos r$ ，从而 $I_{2} > I_{1}$ 。

由 $1 - cos r = \int_{0}^{r} sin t d t < \frac{r ^{2}}{2}$ （ $r > 0$ ），可得

I_{1} > 2 π \int_{0}^{1} r (1 - \frac{r ^{2}}{2}) d r = \frac{3 π}{4} .

另一方面，令 $u = r^{2}$ ，则

I_{3} = 2 π \int_{0}^{1} r cos^{2} (r^{2}) d r = π \int_{0}^{1} cos^{2} u d u = \frac{π}{4} (2 + sin 2) \leq \frac{3 π}{4} .

因而 $I_{1} > I_{3}$ 。综上， $I_{2} > I_{1} > I_{3}$ ，选 C。