1994 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1 其他

。以

Y

表示对

X

的三次独立重复观察中事件

{X \leq \frac{1}{2}}

出现的次数，则

P {Y = 2} =

。

答案

$\frac{9}{64}$

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一次观察中事件 ${X \leq \frac{1}{2}}$ 的概率为

p = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 x d x = \frac{1}{4} .

三次观察相互独立，所以 $Y \sim B (3, \frac{1}{4})$ 。于是

P {Y = 2} = (2 3) (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4}) = \frac{9}{64} .