2009 · 数学一 · 第 4 题 · 选择题

设有两个数列

{a_{n}}, {b_{n}}

，若

n \to \infty lim a_{n} = 0

，则（　　）。

A
当 $n = 1 \sum \infty b_{n}$ 收敛时， $n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}$ 收敛
B
当 $n = 1 \sum \infty b_{n}$ 发散时， $n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}$ 发散
C
当 $n = 1 \sum \infty ∣ b_{n} ∣$ 收敛时， $n = 1 \sum \infty a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛
正确答案
D
当 $n = 1 \sum \infty ∣ b_{n} ∣$ 发散时， $n = 1 \sum \infty a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 发散

答案

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选项 A 不成立。例如取 $a_{n} = b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ ，则 $a_{n} \to 0$ 且 $\sum b_{n}$ 收敛，但 $a_{n} b_{n} = \frac{1}{n}$ ，所以 $\sum a_{n} b_{n}$ 发散。选项 B、D 也可由取 $a_{n} \equiv 0$ 否定。

若 $\sum ∣ b_{n} ∣$ 收敛，则 $b_{n}$ 有界且最终满足 $∣ b_{n} ∣ \leq 1$ 。又因 $a_{n} \to 0$ ，存在 $M$ 使 $∣ a_{n} ∣ \leq M$ ，从而最终有 $a_{n}^{2} b_{n}^{2} \leq M^{2} ∣ b_{n} ∣$ 。故 $\sum a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛，正确选项为 C。