2006 · 数学二 · 第 2 题 · 填空题

令 $t = x s$ ，则对 $x \neq = 0$ ，

\frac{1}{x ^{3}} \int_{0}^{x} sin t^{2} d t = \int_{0}^{1} \frac{sin ( x ^{2} s ^{2} )}{x ^{2}} d s .

写成 $\frac{sin ( x ^{2} s ^{2} )}{x ^{2}} = s^{2} \frac{sin ( x ^{2} s ^{2} )}{x ^{2} s ^{2}}$ ，由 $u \to 0 lim \frac{sin u}{u} = 1$ ，得

x \to 0 lim \frac{1}{x ^{3}} \int_{0}^{x} sin t^{2} d t = \int_{0}^{1} s^{2} d s = \frac{1}{3} .

连续性要求 $a$ 等于上述极限，因此 $a = \frac{1}{3}$ 。

答案