2006 · 数学二 · 第 3 题 · 填空题

广义积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} =

。

答案

$\frac{1}{2}$

令 $u = 1 + x^{2}$ ，则 $d u = 2 x d x$ ，从而

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{+ \infty} u^{- 2} d u .

计算得

\frac{1}{2} [- \frac{1}{u}]_{1}^{+ \infty} = \frac{1}{2} .