先考察 $\sum a_n{t}^n$ 的收敛半径 $R$。在 $t=1$ 时它是条件收敛的 $\sum a_n$，故 $R\ge 1$。若 $R>1$，则 $t=1$ 为收敛区间内点，必绝对收敛，与题设矛盾。因此 $R=1$。
将系数乘以 $n$ 不改变半径。由 $\sqrt[n]{n}\to 1$ 及根值公式，

也可用幂级数逐项求导保持半径的性质，因为 $\sum n{a}_n{t}^n=t(\sum a_n{t}^n{)}^{\prime }$。
所以题给级数在 $|x-1|<1$ 内绝对收敛，在 $|x-1|>1$ 时发散。$x=\sqrt{3}$ 到中心 $1$ 的距离为 $\sqrt{3}-1<1$，是收敛点；$x=3$ 的距离为 $2>1$，是发散点。因此选 B。