取 $u=\ln (1+x)$、$\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}x}{(2-x{)}^2}$，则 $\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{(1+x)}$、$v=\frac{1}{(2-x)}$。

于是

$$I=\frac{\ln (1+x)}{2-x}{|}_0^1-{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(2-x)(1+x)}=\ln 2-{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(2-x)(1+x)}.$$

又 $\frac{1}{[(2-x)(1+x)]}=\frac{1}{3}[\frac{1}{(2-x)}+\frac{1}{(1+x)}]$，故后一积分为 $2\frac{\ln 2}{3}$。因此 $I=\frac{\ln 2}{3}$。