1996 · 数学三 · 第 2 题 · 填空题

设

\int x f (x) d x = arcsin x + C

，则

\int \frac{1}{f ( x )} d x =

。

答案

$- \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}} + C$

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由原等式两边求导，

x f (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}, f (x) = \frac{1}{x 1 - x ^{2}} .

于是

\int \frac{1}{f ( x )} d x = \int x 1 - x^{2} d x = - \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}} + C .

该推导在原被积函数有定义的区间内成立。