2010 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

曲线 $x = 1 + y^{2}$ 是双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的右支，与两直线分别交于 $(2, 1)$ 、 $(2, - 1)$ ，两直线交于原点。因此

D = {(x, y) : - 1 \leq y \leq 1, 2 ∣ y ∣ \leq x \leq 1 + y^{2}} .

区域关于 $x$ 轴对称。展开 $(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ ，其中 $3 x^{2} y$ 与 $y^{3}$ 关于 $y$ 为奇函数，积分为零；余项为偶函数，故

I = 2 \int_{0}^{1} d y \int_{2 y}^{1 + y^{2}} (x^{3} + 3 x y^{2}) d x .

内层原函数为 $\frac{x ^{4}}{4} + \frac{3 y ^{2} x ^{2}}{2}$ 。在上限处取值 $\frac{( 1 + 8 y ^{2} + 7 y ^{4} )}{4}$ ，下限处取值 $4 y^{4}$ ，相减后得

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 + 8 y^{2} - 9 y^{4}) d y = \frac{1}{2} [y + \frac{8 y ^{3}}{3} - \frac{9 y ^{5}}{5}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (1 + \frac{8}{3} - \frac{9}{5}) = \frac{14}{15} .

答案