1989 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设定球球心为 $O$ ，动球面 $Σ$ 的球心为 $C$ ，则 $∣ O C ∣ = a$ 。对 $P \in Σ$ ，令 $θ$ 为向量 $C P$ 与 $C O$ 的夹角。由 $∣ C P ∣ = R$ ，条件 $∣ O P ∣ \leq a$ 等价于

a^{2} + R^{2} - 2 a R cos θ \leq a^{2},

即 $cos θ \geq \frac{R}{( 2 a )}$ 。因此只有 $0 < R \leq 2 a$ 时存在所求球冠。

球冠的高为

h = R (1 - \frac{R}{2 a}),

故面积为

S (R) = 2 π R h = 2 π R^{2} - \frac{π}{a} R^{3}, 0 < R \leq 2 a .

求导得

S^{'} (R) = π R (4 - \frac{3 R}{a}) .

在 $(0, 2 a]$ 内唯一的内部驻点为 $R = \frac{4 a}{3}$ 。面积在该点前递增、该点后递减，且两端的极限或取值均为 $0$ ，所以最大值在

R = \frac{4 a}{3}

处取得。

答案