函数的定义域为 $x\ne 0$。当 $x\to 0$ 时，令 $u=\frac{1}{|x|}\to +\infty$，则

其中使用了 ${\mathrm{e}}^{u^2}\ge u^2$。又因 $y$ 与 $x$ 同号，故 $x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$，$x\to 0^{-}$ 时 $y\to -\infty$，所以 $x=0$ 是铅直渐近线。

当 $x\to \pm \infty$ 时，

所以 $y=x$ 是斜渐近线。此时 $y\to \pm \infty$，不存在水平渐近线。

因此曲线既有铅直渐近线又有斜渐近线，选 D。